针对您家超市出售过期饮料的情况，如果顾客要求赔偿，根据《中华人民共和国消费者权益保护法》的相关规定，您作为经营者需要承担相应的法律责任。特别是该法第五十五条，规定了如果经营者提供商品或者服务有欺诈行为，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或者接受服务的费用的三倍；增加赔偿的金额不足五百元的，为五百元。法律另有规定的，依照其规定。因此，您可能需要按照法律规定对顾客进行赔偿。
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如果顾客选择投诉，您应先要求顾客提供购买凭证，如发票或收据，并核实其购买的是否确为过期商品。随后，您可以尝试与顾客协商，提出合理的赔偿方案。若协商不成，顾客可能会向消费者协会投诉或采取法律途径。此时，您应积极配合调查，提供商品来源、进货检查记录等证据，以证明自身无故意销售过期商品的意图。
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从法律角度，您应立即下架所有过期商品，并进行全面检查，确保其他商品均在保质期内。同时，积极与顾客沟通，承认错误并提出合理的赔偿方案。若顾客同意，应签订书面协议并尽快履行赔偿。若顾客坚持投诉，您应配合相关部门的调查，提供必要证据，并尊重最终的处理结果。这样可以有效避免进一步的法律纠纷。